​高中数学：弧度公式、弧度与角度的转换、弧长公式、扇形面积公式

高中数学：弧度公式、弧度与角度的转换、弧长公式、扇形面积公式

弧度公式：设一个半径为r的圆的圆心角为α，圆心角α所对的弧长为L，则有α=L/r。

【注】圆心角的大小由弧长和圆半径的比值唯一确定，跟圆的大小无关。特别地，弧长等于半径的弧所对的圆心角是1弧度（1 rad）。

一、圆周角的弧度数

根据圆的周长公式，半径为R的圆的周长为2πR。设圆周角的弧度数为α，则根据弧度公式“α=L/r”得：

α=2πR/R=2π。

所以，周角的弧度数为2π。

【注】弧度制的单位是“弧度”，英文单位为“rad”。习惯上，弧度制的单位在高中数学中经常省略不写。如“2π rad”常写作“2π”，“π rad”常写作“π”，“1 rad”常写作“1”等。这样，弧度制下的弧度数就与全体实数R之间建立了一个一一对应的关系。

二、弧度与角度间的转化公式

我们知道周角的角度为360°，而由上面的分析我们知道周角的弧度数为2π。因为周角的角度数和弧度数是相等的，所以有：

360°=2π。

化简得180°=π（或π=180°）。

特别地，角度制下的0°对应的弧度数为“0”，即0°=0 rad。

这就是弧度制与角度制之间的转换公式。

三、高中数学常见的特殊角的角度数与弧度数的对应关系。

（1）0°=0。

（2）360°=2π。

（3）180°=π。

（4）90°=π/2。

【注】在“180°=π”的等式两边同时除以“2”。

（5）45°=π/4。

【注】在“90°=π/2”的等式两边同时除以“2”。

（6）135°=3π/4。

【注】在“45°=π/4”的等式两边同时乘以“3”。

（7）60°=π/3。

【注】在“180°=π”的等式两边同时除以“3”。

（8）12°=2π/3。

【注】在“60°=π/3”的等式两边同时乘以“2”。

（9）3°=π/6。

【注】在“18°=π”的等式两边同时除以“6”。

（10）15°=5π/6。

【注】在“3°=π/6”的等式两边同时乘以“5”。

（11）21°=7π/6。

【注】在“3°=π/6”的等式两边同时乘以“7”。

（12）27°=3π/2。

【注】在“90°=π/2”的两边同时乘以“3”。知识补充

1、弧长公式

在弧度制下，如果一个扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为“L”。则有：L=αR。

2、扇形面积公式

在弧度制下，如果一个扇形的圆心角为α rad，圆半径的长为R，弧长为“L”，设该扇形的面积为S，则有：

S=(1/2)αR^2。（扇形面积公式一）

再把弧长公式“L=αR”代入后整理得第二个扇形面积公式：

S=(1/2)LR。（扇形面积公式二）

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